Question

20．如圖，已知A，B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=8，MA=2，MB＞2，以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M，N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x，則x的取值范圍是2＜x＜4，△ABC的最大面積為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 ①表示出BN，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MA=AC，BN=BC，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊和三角形的任意兩邊之差小于第三邊列出不等式組求解即可；
②過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，設(shè)CD=h，利用勾股定理表示出AD、BD，再根據(jù)BD=AB-AD列方程求出x²h²，然后求出△ABC的面積的平方，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答 解：①∵M(jìn)N=8，MA=2，AB=x，
∴BN=8-2-x=6-x，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，MA=AC=2，BN=BC=6-x，
由三角形的三邊關(guān)系得 $\left\{\begin{array}{l}{6-x-2＜x}\\{6-x+2＞x}\end{array}\right.$，
解不等式①得，x＞2，
解不等式②得，x＜4，
所以，x的取值范圍是2＜x＜4；
故答案為2＜x＜4．

②如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，設(shè)CD=h，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{h}^{2}}$，
BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（（6-x）^{2}-{h}^{2}}$，
∵BD=AB-AD，
∴$\sqrt{（6-x）^{2}-{h}^{2}}$=x-$\sqrt{{2}^{2}-{h}^{2}}$，
兩邊平方并整理得，x$\sqrt{{2}^{2}-{h}^{2}}$=6x-16，
兩邊平方整理得，x²h²=-32x²+192x-256，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•DC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-32{x}^{2}+192x-256}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-32（x-3）^{2}+32}$，
∴x=3時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，屬于中考�？碱}型．