Question

17．已知拋物線y=2x²-4x-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為P．求：
（1）AB的長(zhǎng)；
（2）△ABC的面積；
（3）四邊形ABPC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式求出A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到AB的長(zhǎng)；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再以AB為底，OC為高求出△ABC的面積；
（3）先求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，再根據(jù)S_{四邊形ABPC}=S_△AOC+S_梯形OCPM+S_△BMP，計(jì)算即可求解．

解答 解：（1）∵y=2x²-4x-1，
∴令y=0，得2x²-4x-1=0，
求得A（$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$，0），B（$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，0），
∴AB=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$-$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{6}$；

（2）∵y=2x²-4x-1，
∴令x=0，得C（0，-1），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×1=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；

（3）∵y=2x²-4x-1=2（x-1）²-3，
∴頂點(diǎn)P（1，-3）．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，則M（1，0）．
S_{四邊形ABPC}=S_△AOC+S_梯形OCPM+S_△BMP
=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×（1+3）×1+$\frac{1}{2}$×3×（$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$-1）
=$\frac{\sqrt{6}-2}{4}$+2+$\frac{3\sqrt{6}}{4}$
=$\sqrt{6}$+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，得出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的突破口，另外注意將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積和進(jìn)行求解．