Question

5．如圖，AE為⊙O的直徑，D為$\widehat{AB}$的中點，過E點的切線交AD的延長線于F．
（1）求證：∠AEB=2∠F；
（2）若AD=2，DF=4，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連接ED，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得：∠ADE=90°，∠A+∠AED=90°，由切線的性質(zhì)得：∠AEF=90°，∠A+∠F=90°，所以∠AED=∠F，根據(jù)弧的中點和同弧所對的圓周角相等得：∠AED=∠BED，從而得出結(jié)論；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)相似求直徑AE=2$\sqrt{3}$，則半徑為$\sqrt{3}$，在直角△AOG和直角△ADG中利用勾股定理列方程可求得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，連接ED，
∵D為$\widehat{AB}$的中點，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠AED=∠BED，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠AED=90°，
∵EF為⊙O的切線，
∴AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠A+∠F=90°，
∴∠AED=∠F，
∵∠AEB=∠AED+∠BED=2∠AED，
∴∠AEB=2∠F；
（2）如圖2，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠AEF=90°，
∴△ADE∽△AEF，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AE}{AF}$，
∵AD=2，DF=4，
∴$\frac{2}{AE}=\frac{AE}{2+4}$，
∴AE=±2$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∴AO=$\sqrt{3}$，
連接AB、OD，AB、OD交于點G，
∵D為$\widehat{AB}$的中點，
∴OD⊥AB，
∴AG=BG，
∵AO=OE，
∴OG=$\frac{1}{2}$BE，
設(shè)OG=x，則GD=$\sqrt{3}$-x，
由勾股定理得：AO²-OG²=AD²-GD²，
則$（\sqrt{3}）^{2}-{x}^{2}={2}^{2}-（\sqrt{3}-x）^{2}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=2OG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、垂徑定理及圓有關(guān)的圓心角、圓周角與弧的性質(zhì)，難度適中；本題利用弧的中點與圓心的連線，根據(jù)垂徑定理得出相應(yīng)的結(jié)論，并構(gòu)建以直徑為邊的三角形，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到直角三角形，從而得出結(jié)論．