Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，點(diǎn)P、Q分別在AC、BC邊上，PQ∥AB．將線段PQ繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到線段PD，連接DQ．設(shè)PC=x．
（1）判斷△PQD的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，點(diǎn)Q在∠CAB的平分線上？
（3）若△PQD與△ABC重疊部分圖形的周長(zhǎng)為T，求T與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出：△PQD是等邊三角形；
（2）點(diǎn)Q在∠CAB的平分線上，即AQ平分∠CAB，則∠CAQ=∠BAQ=30°，根據(jù)30°角的正切列式可求出x的值；
（3）先求出當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，如圖2，x=2，分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，如圖3，重疊部分是等邊三角形PDQ，即T=6x；
②當(dāng)2＜x＜6時(shí)，如圖4，重疊部分是四邊形EPQF，分別計(jì)算四邊的長(zhǎng)，相加可得T與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）△PQD是等邊三角形，理由是：
由旋轉(zhuǎn)得：PQ=PD，∠QPD=60°，
∴△PQD是等邊三角形；
（2）連接AQ，
當(dāng)AQ平分∠CAB時(shí)，∠CAQ=∠BAQ=30°，
在Rt△ACQ中，tan30°=$\frac{CQ}{AC}$，
CQ=AC•tan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵PQ∥AB，
∴∠PQC=∠B=30°，
在Rt△PCQ中，tan30°=$\frac{PC}{CQ}$，
PC=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
即x=2，
則當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)Q在∠CAB的平分線上；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，如圖2，
在Rt△PCQ中，∠CQP=30°，PC=x，
∴PQ=2x，
∵∠CQP=30°，∠PQD=60°，
∴∠CQD=90°，
∴BD=2DQ=4x，
由勾股定理得：CQ=$\sqrt{3}$x，BQ=$\sqrt{（4x）^{2}-（2x）^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴BC=3$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABC中，tan30°=$\frac{AC}{BC}$，
BC=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=6$\sqrt{3}$，
∴6$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$x，
x=2，
此時(shí)T=3PQ=6x=12；
分兩種情況：
①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，如圖3，重疊部分是等邊三角形PDQ，
此時(shí)，T=△PQD的周長(zhǎng)=3PQ=6x，
②當(dāng)2＜x＜6時(shí)，如圖4，重疊部分是四邊形EPQF，
∵PC=x，
∴AP=6-x，
∵∠CPQ=∠DPQ=60°，
∴∠APE=60°，
∵∠A=60°，
∴∠AEP=60°，
∴△AEP是等邊三角形，
∴AP=AE=PE=6-x，
∵EF∥PQ，
∴∠DEF=∠DPQ=60°，∠DFE=∠DQP=60°，
∵∠D=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴DE=EF=DF=2x-（6-x）=3x-6，
∴QF=6-x，
∴T=PQ+FQ+EP+EF=2x+6-x+6-x+3x-6=3x+6，
綜上所述，T與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：T=$\left\{\begin{array}{l}{6x（0≤x≤2）}\\{3x+6（2＜x＜6）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題，難度適中，考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，本題的特殊角較多，利用了三角函數(shù)的特殊值列式求邊長(zhǎng)，同時(shí)采用了分類討論的思想，并與圖形相結(jié)合，先確定特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值，才能確定其各種情況的取值范圍．