Question

8．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中AB=2，BC=4，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，連接AQ，作點(diǎn)B關(guān)于直線AQ的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB₁，QB₁．
（1）當(dāng)B₁落在線段AD上時(shí)，BQ=2．
（2）連接B₁D，當(dāng)△AB₁D為直角三角形時(shí)，BQ的4-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)B₁落在線段AD上時(shí)，根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)B₁關(guān)于AQ對(duì)稱，得出AB₁=AB，四邊形ABQB₁是正方形，即可求出結(jié)果；
（2）作∠AQE=∠BAQ=15°，先求出∠BAB₁=30°，設(shè)BQ=x，則EQ=2BQ=2x，BE=$\sqrt{3}$x，AE=2x，得出方程：2x+$\sqrt{3}$x=2，解方程即可．

解答 解：（1）當(dāng)B₁落在線段AD上時(shí)，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)B₁關(guān)于AQ對(duì)稱，
∴AB₁=AB，四邊形ABQB₁是正方形，
∴BQ=AB=2；
故答案為：2；
（2）∵點(diǎn)B和點(diǎn)B₁關(guān)于AQ對(duì)稱，
∴AB₁=AB=2，
∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴AD=BC=4=2AB₁，
∵△AB₁D為直角三角形，
∴∠ADB₁=30°，∠DAB₁=60°，
∴∠BAB₁=30°，
∴∠BAQ=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
作∠AQE=∠BAQ=15°，如圖所示：
∴∠BEQ=30°，AE=QE，
設(shè)BQ=x，則EQ=2BQ=2x，
∴BE=$\sqrt{3}$x，
∴AE=2x，
∴AB=2x+$\sqrt{3}$x，
∴2x+$\sqrt{3}$x=2，
解得：x=4-2$\sqrt{3}$；
故答案為：4-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)；設(shè)出未知數(shù)根據(jù)題意得出方程是解決問題的關(guān)鍵．