Question

7．【定義表述】我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線(xiàn)的直線(xiàn)，叫該點(diǎn)的“特征線(xiàn)”，例如點(diǎn)P（2，4）的特征線(xiàn)有：x=2，y=4，y=x+2，y=-x+6
【定義理解】直接寫(xiě)出點(diǎn)P（a，b）（a≠b）所有的特征線(xiàn)．
【定義應(yīng)用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線(xiàn)y=$\frac{2}{9}$（x-m）²+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，點(diǎn)P有一條特征線(xiàn)是x=3．
（1）求此拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）點(diǎn)Q在與一、三象限角平分線(xiàn)平行的點(diǎn)P的特征線(xiàn)上，當(dāng)AQ+BQ的值最小時(shí)，求這個(gè)最小值．
（3）點(diǎn)M是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連結(jié)OM，將△OAM沿OM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的P點(diǎn)的特征線(xiàn)上時(shí)，將拋物線(xiàn)y=$\frac{2}{9}$（x-m）²+n向下平移，使其頂點(diǎn)落在OM上，求平移距離．

Answer 1

分析 【定義理解】根據(jù)一個(gè)點(diǎn)的“特征線(xiàn)”的定義即可求出點(diǎn)P（a，b）（a≠b）所有的特征線(xiàn)；
【定義應(yīng)用】（1）根據(jù)y=$\frac{2}{9}$（x-m）²+n得出頂點(diǎn)P（m，n），點(diǎn)C（0，$\frac{2}{9}{m}^{2}+n$），由點(diǎn)P有一條特征線(xiàn)是x=3得到m=3，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得出BC=6，由正方形的性質(zhì)得出OC=BC=6，根據(jù)C點(diǎn)縱坐標(biāo)為6得出$\frac{2}{9}$×3²+n=6，求出n=4，即可求得此拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)y=x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連結(jié)AB′交直線(xiàn)y=x+1于點(diǎn)Q，如圖①，則此時(shí)AQ+BQ的值最小，最小值為AB′的長(zhǎng)；
（3）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)A′落在直線(xiàn)x=3上時(shí)，如圖②，②當(dāng)點(diǎn)A′落在直線(xiàn)y=4上時(shí)，如圖③，分別求出直線(xiàn)OM的解析式，求出直線(xiàn)OM與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；

解答 解：【定義理解】
∵在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線(xiàn)的直線(xiàn)，叫該點(diǎn)的“特征線(xiàn)”，
∴點(diǎn)P（a，b）（a≠b）所有的特征線(xiàn)為：x=a，y=b，y=x-a+b，y=-x+a+b；

【定義應(yīng)用】
（1）∵拋物線(xiàn)y=$\frac{2}{9}$（x-m）²+n的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，n），點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，$\frac{2}{9}{m}^{2}+n$），
∵點(diǎn)P有一條特征線(xiàn)是x=3，
∴m=3，
∵點(diǎn)B、C均在拋物線(xiàn)上，
∴BC=3×2=6，
∵四邊形OABC為正方形，
∴OC=BC=6，
∴$\frac{2}{9}$×3²+n=6，解得：n=4，
∴此拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{2}{9}$（x-3）²+4；

（2）由（1）可知，點(diǎn)Q在與一、三象限角平分線(xiàn)平行的點(diǎn)P的特征線(xiàn)為y=x+1．
作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)y=x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連結(jié)AB′交直線(xiàn)y=x+1于點(diǎn)Q，如圖①，則此時(shí)AQ+BQ的值最�。�
過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥x軸于點(diǎn)D，則BB′=$\sqrt{2}$，B′D=1+6=7，DA=1．
∵在Rt△AB′D中，∠ADB′=90°，
∴AB′=$\sqrt{A{D}^{2}+B′{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{7}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴AQ+BQ的最小值為5$\sqrt{2}$；

（3）①當(dāng)點(diǎn)A′落在直線(xiàn)x=3上時(shí)，如圖②．
設(shè)直線(xiàn)x=3與x軸交于點(diǎn)E，與OM交于點(diǎn)F，則有OA′=OA=6，OE=3，∠A′OM=∠AOM，
在Rt△A′OE中，∠A′EO=90°，cos∠A′OE=$\frac{OE}{OA′}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A′OE=60°，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠A′OE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴EF=OE•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)落在OM上的平移距離為4-$\sqrt{3}$．
②當(dāng)點(diǎn)A′落在直線(xiàn)y=4上時(shí)，如圖③，
設(shè)直線(xiàn)y=4與y軸交于點(diǎn)G，與AB交于點(diǎn)H．
則有OA′=OA=6，OG=AH=4，且△GOA′≌△HA′M，
∴$\frac{A′G}{HM}$=$\frac{OG}{A′H}$，
在Rt△A′GO中，∠A′GO=90°，
A′G=$\sqrt{OA{′}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴A′H=GH-A′G=6-2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{4-AM}$=$\frac{4}{6-2\sqrt{5}}$，
∴AM=9-3$\sqrt{5}$，
∴直線(xiàn)OM的解析式為y=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$x，
當(dāng)x=3時(shí)，y=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$×3=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$，
∴當(dāng)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)落在OM上的平移距離為4-$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}-1}{2}$，
∴當(dāng)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)落在OM上的平移距離為4-$\sqrt{3}$或$\frac{3\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)的應(yīng)用、軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)解決交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．