Question

7．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，把矩形OABC沿直線DE對折使點C落在點A（0，6）處，DE與AC相交于點F，且$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求B、C兩點的坐標(biāo)；
（2）求直線DE的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正切的概念求出∠EAF=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出OC的長，得到B、C兩點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意和翻折變換的性質(zhì)求出D、E兩點的坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式．

解答 解：（1）由題意得，∠AFE=90°，
tan∠EAF=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EAF=30°，
∵AB∥OC，
∴∠ACO=∠EAF=30°，又OA=6，
∴AC=12，
由勾股定理得，OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴B點的坐標(biāo)為（6$\sqrt{3}$，6），C點的坐標(biāo)為（6$\sqrt{3}$，0）；
（2）∵$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AF=6，
∴EF=2$\sqrt{3}$，
又∵∠EAF=30°，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
則點E的坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$，6），
由翻折變換的性質(zhì)可知，CD=AE=4$\sqrt{3}$，
OD=OC-CD=2$\sqrt{3}$，
則點D的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0），
設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}k+b=6}\\{2\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\sqrt{3}$，b=-6．
則直線DE的解析式為：y=$\sqrt{3}$x-6．

點評 本題考查的是一次函數(shù)的知識、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、勾股定理的應(yīng)用、直角三角形的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵，解答時注意銳角三角函數(shù)的概念的正確運用．