Question

4．如圖，點M，A，H重合，點C在射線NA上，連接BC交圓O于點D，若點D為BC的中點．
（1）求證：BN=CN；
（2）過點N作圓O的切線交BC的延長線于點K，若CK=CD，AB=2$\sqrt{6}$，求KN的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示，連接ND．首先證明∠BDN=90°，從而可得到DN是BC的垂直平分線；
（2）如圖2所示，過點C作CM⊥BN，垂足為M．首先證明△CMN≌△BAN，從而得到CM=AB=2$\sqrt{6}$，然后再證明△BCM∽△BKN，由相似三角形的性質可求得KN的長．

解答 解：（1）如圖1所示，連接ND．

∵BN是圓O的直徑，
∴∠BDN=90°．
∴DN⊥BC．
∵D是BC的中點，
∴DN是BC的垂直平分線．
∴BN=CN．
（2）如圖2所示，過點C作CM⊥BN，垂足為M．

∵BN為圓O的直徑，
∴∠BAN=90°．
∵CM⊥BN，
∴∠CMN=90°．
∴∠CMN=∠BAN．
在△CMN和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMN=∠BAN}\\{∠BNA=∠MNC}\\{BN=CN}\end{array}\right.$，
∴△CMN≌△BAN．
∴CM=AB=2$\sqrt{6}$．
∵NK是圓O的切線，
∴ON⊥NK．
∴CM∥KN．
∴△BCM∽△BKN．
∴$\frac{CM}{NK}=\frac{BC}{BK}=\frac{2}{3}$，即$\frac{2\sqrt{6}}{NK}=\frac{2}{3}$．
∴NK=3$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查的是切線的性質、相似三角形的性質和判定、線段垂直平分線的性質、全等三角形的性質和判定，掌握本題輔助線的作法是解題的關鍵．