Question

11．如圖，二次函數(shù)y=a（x²-2mx-3m²）（其中a，m為常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)D在二次函數(shù)圖象上，且CD∥AB，連AD；過(guò)點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)于點(diǎn)E，使AB平分∠DAE
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）證明：無(wú)論a、m取何值，點(diǎn)E在同一直線上運(yùn)動(dòng)；
（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為F，試探究：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以PF、AD、AE為邊構(gòu)成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意將a=1，C（0，-3）代入y=a（x²-2mx-3m²），進(jìn)而求出m的值，即可得出答案；
（2）首先根據(jù)題意表示出A，B，C，D，進(jìn)而聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{m}x+1}\\{y=a（{x}^{2}-2mx-3{m}^{2}）}\end{array}\right.$，求出E點(diǎn)坐標(biāo)即可得出答案；
（3）由（2）得：F（m，-4）、E（4m，5）、A（-m，0）、D（2m，-3），再利用PF，AD，AE的關(guān)系得出答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，y=a（x²-2mx-3m²）=x²-2mx-3m²，
∵與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴-3m²=-3，
解得：m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∵C，D關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-3）；

（2）作D關(guān)于AB對(duì)稱的點(diǎn)D′必在AE上，
當(dāng)y=0，則0=a（x²-2mx-3m²），
解得：x₁=-m，x₂=3m，
當(dāng)x=0，y=-3am²，
可得：A（-m，0）、B（3m，0），C（0，-3am²），D（2m，-3am²）
∴D′（2m，3am²），
∵拋物線過(guò)點(diǎn)C，
∴-3am²=-3，
則am²=1，
∴直線AD′的解析式為：y=$\frac{1}{m}$x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{m}x+1}\\{y=a（{x}^{2}-2mx-3{m}^{2}）}\end{array}\right.$，整理得x²-3mx-4m²=0
解得x₁=4m，x₂=-m（舍去）
∴E（4m，5）
∴E在y=5上運(yùn)動(dòng)；

（3）由（2）得：F（m，-4）、E（4m，5）、A（-m，0）、D（2m，-3）
設(shè)P（b，0）
∴PF²=（m-b）²+16，AD²=9m²+9，AE²=25m²+25
∴（m-b）²+16+9m²+9=25m²+25，
解得：b₁=-3m，b₂=5m
∴P（-3m，0）或（5m，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、勾股定理及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)等知識(shí)，正確解方程得出解集進(jìn)而得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．