Question

15．認(rèn)真閱讀材料，然后回答問(wèn)題：
我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，相應(yīng)的，我們可以計(jì)算出多項(xiàng)式的展開(kāi)式，如：（a+b）¹=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=（a+b）²（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³，…
下面我們依次對(duì)（a+b）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)是可以單獨(dú)列成表中的形式：

上面的多項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細(xì)觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成下列問(wèn)題：
（1）多項(xiàng)式（a+b）⁷的展開(kāi)式共有八項(xiàng)，其中第三項(xiàng)的系數(shù)為21；
（2）試求出多項(xiàng)式（a+b）⁹展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和．
（3）結(jié)合上述材料，觀察規(guī)律探索出：多項(xiàng)式（a+b）ⁿ（n取正整數(shù)）的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和S=2ⁿ（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以解答本題；
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，寫(xiě)出前幾項(xiàng)總結(jié)規(guī)律，從而可以解答本題；
（3）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，寫(xiě)出前幾項(xiàng)總結(jié)規(guī)律，從而可以解答本題．

解答 解：（1）由題意可得，
（a+b）⁷的展開(kāi)式共有八項(xiàng)，其中第三項(xiàng)的系數(shù)為：6+15=21，
故答案為：八，21；
（2）∵當(dāng)n=1時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）¹展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+1=2=2¹，
當(dāng)n=2時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）²展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+2+1=4=2²，
當(dāng)n=3時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）³展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+3+3+1=8=2³，
當(dāng)n=4時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）⁴展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+4+6+4+1=16=2⁴，
…
∴多項(xiàng)式（a+b）⁹展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和=2⁹．
（3）∵當(dāng)n=1時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）¹展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+1=2=2¹，
當(dāng)n=2時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）²展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+2+1=4=2²，
當(dāng)n=3時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）³展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+3+3+1=8=2³，
當(dāng)n=4時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）⁴展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+4+6+4+1=16=2⁴，
…
∴多項(xiàng)式（a+b）ⁿ展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和：S=2ⁿ，
故答案為：2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，數(shù)字的變化，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)學(xué)歸納法解答本題．