Question

8．如圖1，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（4，0）兩點，與y軸相交于點C，連接BC，點P為拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線l，交直線BC于點G，交x軸于點E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當P位于y軸右邊的拋物線上運動時，過點C作CF⊥直線l，F(xiàn)為垂足，當點P運動到何處時，以P，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△OBC相似？并求出此時點P的坐標；
（3）如圖2，當點P在位于直線BC上方的拋物線上運動時，連接PC，PB，△PBC的面積S能否取得最大值？若能，請求出最大面積S，并求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A（-1，0），B（4，0）的坐標代入拋物線的解析式，求得b、c的值即可；
（2）先由函數(shù)解析式求得點C的坐標，從而得到△OBC為等腰直角三角形，故此當CF=PF時，以P，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△OBC相似．
設(shè)點P的坐標為（a，-a²+3a+4）．則CF=a，PF=-a²+3a，接下來列出關(guān)于a的方程，從而可求得a的值，于是可求得點P的坐標；
（3）連接EC．設(shè)點P的坐標為（a，-a²+3a+4）．則OE=a，PE=-a²+3a+4，EB=4-a．然后依據(jù)S_△PBC=S_{四邊形PCEB}-S_△CEB列出△PBC的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，從而可求得三角形的最大面積．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}-1-b+c=0\\-16+4b+c=0\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ c=4\end{array}$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4．

（2）如圖1所示：

由題意可知：C點坐標為（0，4），
∴△BOC為等腰直角三角形，且∠BOC為直角．
∵以P，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△OBC相似
∴△PCF為等腰直角三角形，又CF⊥直線l，∴PF=CF．
設(shè)P（t，-t²+3t+4）（t＞0），則CF=t，P（t，4），
PF=|（-t²+3t+4）-4|=|t²-3t|．
∴t=|t²-3t|，∴t²-3t=±t，解得t=0（舍去），t=2或t=0（舍去），t=4．
∴點P的坐標為 （2，6）或 （4，0）．

（3）如圖2所示：連接EC．

設(shè)點P的坐標為（a，-a²+3a+4）．則OE=a，PE=-a²+3a+4，EB=4-a．
∵C（0，4），B（4，0），
∴直線BC的解析式為y=-x+4．
∵S_{四邊形PCEB}=$\frac{1}{2}$OB•PE=$\frac{1}{2}$×4（-a²+3a+4），S_△CEB=$\frac{1}{2}$EB•OC=$\frac{1}{2}$×4×（4-a），
∴S_△PBC=S_{四邊形PCEB}-S_△CEB=2（-a²+3a+4）-2（4-a）=-2a²+8a．
∵a=-2＜0，
∴當a=2時，△PBC的面積S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面積的最大值為8．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相關(guān)線段的長度，然后列出△PBC的面積與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．