Question

1．如圖5，I是△ABC的內(nèi)心，且∠A、∠B、∠C的平分線延長(zhǎng)線分別交外接圓于P，Q，R點(diǎn)．
（1）若$\widehat{BPC}$所對(duì)的圓心角為140°，則∠BAP=35°；
（2）線段PI與弦BP大小關(guān)系如何？請(qǐng)給出證明；
（3）證明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，即可求解．
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，得到角與角的數(shù)量關(guān)系，證得角相等，由等角對(duì)等邊得到結(jié)論．
（3）根據(jù)同圓或等圓中等弧所對(duì)的弦相等，大弧對(duì)的弦也大，推出結(jié)論．

解答 解：（1）∵若$\widehat{BPC}$所對(duì)的圓心角為140°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°；

（2）相等
∵AP平分∠BAC，BQ平分∠ABC，
∴∠BIP=∠BAP+∠ABI=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），
∠IBP=∠IBC+∠PBC，
∵∠PBC=∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠IBP=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），
∴∠BIP=∠IBP，
∴BP=PI；

（3）∵$\widehat{ABP}$$＞\widehat{AB}$，
∴AP＞AB，①
∵$\widehat{CAR}$$＞\widehat{AC}$，
∴CR＞AC，②
∵$\widehat{BCQ}$$＞\widehat{BC}$，
∴BQ＞BC，③
∴①+②+③得：
∴AP+BQ+CR＞BC+CA+AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心的，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等．正確的識(shí)別同弧所對(duì)的圓周角是解題的關(guān)鍵．