Question

11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E時(shí)CD邊上一點(diǎn)，AF⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF分別交于AE、AB于點(diǎn)C、P連接PE．
（1）求證：AE=AF；
（2）若AD=2，求當(dāng)DE為何值時(shí)，四邊形APED是矩形．

Answer 1

分析 （1）若要證明AE=AF，則可證明以上兩條線段所在的三角形△ADE≌△ABF全等即可；
（2）證得△ADP∽△PBF，設(shè)DE=x，利用相似的性質(zhì)得出方程求得方程的解即可．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠ABC=∠DAB=90°，AD=AB，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
在△ADE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BAF}\\{AD=AB}\\{∠ADE=∠ABF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AF=AE；
（2）∵△ADE≌△ABF，
∴DE=BF，
∵四邊形APED是矩形，
∴DE=AP，
∴DE=AP=BF，
設(shè)DE=x，則AP=BF=x，
∵AD∥BF，
∴△ADP∽△PBF，
∴$\frac{AD}{FB}$=$\frac{AP}{PB}$，
即$\frac{2}{x}$=$\frac{x}{2-x}$，
解得：x=$\sqrt{5}$-1或x=-$\sqrt{5}$-1（不合題意，舍去）
∴當(dāng)DE=$\sqrt{5}$-1時(shí)，四邊形APED是矩形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，利用相似建立方程是解決問題的關(guān)鍵．