Question

1．如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，點M是AC的中點，將△ABC繞點M逆時針方向旋轉α°（0＜α＜180°），得到△A′B′C′，旋轉過程中兩斜邊的交點為N，順次連接A、A′、C、C′．
（1）求證：在旋轉過程中，四邊形AA′CC′是矩形；
（2）當△A′B′C′的斜邊A′B′剛好過△ABC的直角頂點C時，得到圖2，此時，旋轉角α的值為60°，若AC=6，則AN的長為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)旋轉的性質得AC=A′C′則AM=CM，A′M=C′M，則利用平行四邊形的判定方法得到四邊形AA′CC′是平行四邊形，然后利用AC=A′C′可判斷四邊形AA′CC′是矩形；
（2）如圖2，根據(jù)旋轉的性質得∠B′AC′=∠BAC=30°，∠CMC′=α，再利用四邊形AA′CC′是矩形得到∠A′CC′=90°，MC=MC′則∠A′C′C=60°，則∠CMC′=60°，即旋轉角α的值為60°；利用含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△ABC中可計算出BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2$\sqrt{3}$，AB=2BC=4$\sqrt{3}$，再證明△BCN為等邊三角形得到BN=BC=2$\sqrt{3}$，所以AN=AB-BN=2$\sqrt{3}$．

解答 （1）證明：如圖1，
∵△ABC繞點M逆時針方向旋轉α°（0＜α＜180°），得到△A′B′C′，
∴AC=A′C′，
∵點M是AC的中點，
∴AM=CM，A′M=C′M，
∴四邊形AA′CC′是平行四邊形，
而AC=A′C′，
∴四邊形AA′CC′是矩形；
（2）解：如圖2，
∵△ABC繞點M逆時針方向旋轉α°（0＜α＜180°），得到△A′B′C′，
∴∠B′AC′=∠BAC=30°，∠CMC′=α，
∵四邊形AA′CC′是矩形，
∴∠A′CC′=90°，MC=MC′
∴∠A′C′C=60°，
∴△MCC′為等邊三角形，
∴∠CMC′=60°，
即旋轉角α的值為60°；
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2BC=4$\sqrt{3}$，
∴△MCC′為等邊三角形，
∴∠MCC′=60°，
∴∠ACA′=30°，
∴∠BCA′=60°，
而∠B=60°，
∴△BCN為等邊三角形，
∴BN=BC=2$\sqrt{3}$，
∴AN=AB-BN=2$\sqrt{3}$．
故答案為60°，2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系和矩形的判定方法．