Question

3．如圖，在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC外作等腰直角三角形，直角的頂點分別為D、E，點F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點，求證：△DFM≌△MGE．

Answer 1

分析 根據(jù)△ABD是等腰直角三角形，且BF=AF，所以得到DF=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)點G為AC的中點，點M為BC的中點，所以MG為△ABC的中位線，所以MG∥AB，且MG=$\frac{1}{2}$AB，同理FM∥AC，且FM=$\frac{1}{2}$AC，得到DF=MG，F(xiàn)M=EG，根據(jù)MG∥AB，F(xiàn)M∥AC，所以四邊形AFMG是平行四邊形，所以∠AFM=∠AGM，證明∠DFM=∠MGE，所以△DFM≌△MGE．

解答 證明：∵△ABD是等腰直角三角形，且BF=AF，
∴DF⊥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB，
∵點G為AC的中點，點M為BC的中點，
∴MG為△ABC的中位線，
∴MG∥AB，且MG=$\frac{1}{2}$AB，
同理FM∥AC，且FM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DF=MG，F(xiàn)M=EG，
∵MG∥AB，F(xiàn)M∥AC，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴∠AFM=∠AGM，
∵∠AFM+∠BFM=∠AGM+∠CGM=180°，
∴∠BFM=∠CGM，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB=90°，同理∠EGC=90°，
∴∠DFB=∠EGC，
∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠CGM，
∴∠DFM=∠MGE．
在△DFN和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=GE}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS）．

點評 本題考查了全等三角形的判定的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，三角形的中位線定理的運用，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的運用，證明出∠DFM=∠MGE是解答本題的關(guān)鍵．