Question

9．已知：如圖，在?ABCD中，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=15cm，CE=8cm，求?ABCD的周長和面積．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根據(jù)直角三角形的勾股定理得到BC=17．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=CD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，從而求得該平行四邊形的周長；根據(jù)直角三角形的面積可以求得平行四邊形BC邊上的高．

解答 解：（1）∵BE和CE分別平分∠ABC和∠BCD，
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠DCB）=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴△EBC是直角三角形，
根據(jù)勾股定理：BC=17，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∵∠ECD=∠ECB，
∴∠DEC=∠ECD，
∴DE=CD，
同理AB=AE．
∴AB+CD=AE+DE=AD=BC=17，
∴平行四邊形ABCD周長=BC+AD+AB+CD=17+17+17=51．
（2）如圖，作EH⊥BC，垂足為H．
S_△BEC=$\frac{1}{2}$×15×8=60，
又∵S_△BEC=$\frac{1}{2}$×BC×EH，
∴S_{平行四邊形ABCD}=BC×EH=2S_△BEC=120．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．