Question

18．閱讀下列材料：
我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應的點與原點的距離，即|x|=|x-0|，也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應的點之間的距離；這個結論可以推廣為|x₁-x₂|表示在數(shù)軸上數(shù)x₁與數(shù)x₂對應的點之間的距離；

例1．解方程|x|=2．因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應的數(shù)為±2，所以方程|x|=2的解為x=±2．
例2．解不等式|x-1|＞2．在數(shù)軸上找出|x-1|=2的解（如圖1），因為在數(shù)軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數(shù)為-1或3，所以方程|x-1|=2的解為x=-1或x=3，因此不等式|x-1|＞2的解集為x＜-1或x＞3．
例3．解方程|x-1|+|x+2|=5．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和-2對應的點的距離之和等于5的點對應的x的值．因為在數(shù)軸上1和-2對應的點的距離為3（如圖2），滿足方程的x對應的點在1的右邊或-2的左邊．若x對應的點在1的右邊，可得x=2；若x對應的點在-2的左邊，可得x=-3，因此方程|x-1|+|x+2|=5的解是x=2或x=-3．
參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程|x+3|=4的解為x=1或x=-7；
（2）解不等式：|x-3|≥5；
（3）解不等式：|x-3|+|x+4|≥9．

Answer 1

分析 （1）利用在數(shù)軸上到-3對應的點的距離等于4的點對應的數(shù)為1或-7求解即可；
（2）先求出|x-3|=5的解，再求|x-3|≥5的解集即可；
（3）先在數(shù)軸上找出|x-3|+|x+4|=9的解，即可得出不等式|x-3|+|x+4|≥9的解集．

解答 解：（1）∵在數(shù)軸上到-3對應的點的距離等于4的點對應的數(shù)為1或-7，
∴方程|x+3|=4的解為x=1或x=-7．
（2）在數(shù)軸上找出|x-3|=5的解．
∵在數(shù)軸上到3對應的點的距離等于5的點對應的數(shù)為-2或8，
∴方程|x-3|=5的解為x=-2或x=8，
∴不等式|x-3|≥5的解集為x≤-2或x≥8．
（3）在數(shù)軸上找出|x-3|+|x+4|=9的解．
由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到3和-4對應的點的距離之和等于9的點對應的x的值．
∵在數(shù)軸上3和-4對應的點的距離為7，
∴滿足方程的x對應的點在3的右邊或-4的左邊．
若x對應的點在3的右邊，可得x=4；若x對應的點在-4的左邊，可得x=-5，
∴方程|x-3|+|x+4|=9的解是x=4或x=-5，
∴不等式|x-3|+|x+4|≥9的解集為x≥4或x≤-5．

點評 本題主要考查了絕對值及不等式的知識，解題的關鍵是理解|x₁-x₂|表示在數(shù)軸上數(shù)x₁與數(shù)x₂對應的點之間的距離．