Question

13．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C，AB=20cm．BC=15cm，點E為AB的中點，如果點P在線段BC上以5cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CD上由點C向點D運動．
（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPE與△CQP是否全等，請說明理由；
（2）在（1）的條件下，若∠A+∠D=220°，求∠EPQ的度數(shù)；
（3）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPE與△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點E是中點求出BE的長度，再求出BP、PC、CQ的長度，然后利用“邊角邊”證明△BPE與△CQP全等；
（2）根據(jù)點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，要使△BPE與△CQP全等，則只有BE=CQ，BP=CP時成立，最后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等求解即可．

解答 解：△BPE與△CQP全等．
理由如下：∵點E為AB的中點，AB=20cm，
∴BE=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10cm$，
∵點P、Q的速度都是5cm/秒，
∴經(jīng)過1秒后，BP=5cm，PC=BC-BP=15-5=10cm，CQ=5cm，
∴BE=PC，BP=CQ，
在△BPE與△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}BE=PC\\∠B=∠C\\ BP=CQ\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；

（2）若∠A+∠D=220°，則∠B+∠C=360°-（∠A+∠D）=140°，
∴∠B=∠C=70°，
∵△BPE≌△CQP，
∴∠BEP=∠CPQ，∠BPE=∠CQP，
∵∠B+∠BEP+∠BPE=180°，∠BPE+∠CPQ+∠EPQ=180°，
∴∠EPQ=∠B=70°；

（3）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，要使△BPE與△CQP全等，則只有BE=CQ，BP=CP時成立．
此時，BP=CP=$\frac{1}{2}BC=\frac{15}{2}$，
∴P、Q運動的時間為：$\frac{15}{2}÷5=\frac{3}{2}s$，
∵CQ=BE=10，
∴點Q的運動速度為：$10÷\frac{3}{2}=\frac{20}{3}cm/s$．

點評 本題以動點問題為背景，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．