Question

17．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=a（a＞0），∠CAB的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB垂足為E，則△DEB的周長(zhǎng)等于a．

Answer 1

分析 先利用AAS判定△ACD≌△AED得出AC=AE，CD=DE；再對(duì)構(gòu)成△DEB的幾條邊進(jìn)行變換，可得到其周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)．

解答 解：∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90，
在△ACD與△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠C=∠AED=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=DE，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴DE=BE，
∵AC=BC，AB=a，
∴2BC²=AB²，即BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴BE=AB-AE=AB-AC=a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴BC+BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=a
∵△DEB的周長(zhǎng)=DE+DB+BE=BC+BE=a，
故答案為：a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．