Question

5．如圖，直線y=kx+b與雙曲線y=$\frac{4-2m}{x}$交于A，B兩點，與x軸交于點P，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，過點B作BD⊥y軸，垂足為D．
（1）求m的取值范圍；
（2）若點A的坐標為（-2，-4），$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{4}$，求m的值和直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（3）連接CD，判斷CD與AB的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圖象可知，雙曲線y=$\frac{4-2m}{x}$在一三象限，則4-2m＞0，求得m＜2；
（2）作BE⊥x軸于E，把A點的坐標代入，即可求得m的值，根據(jù)AC∥BE，則$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{4}$，求得BE=$\frac{1}{4}$AC=1，代入解析式即可求得B的坐標，然后關(guān)鍵待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（3）分別求得OC=2，AC=4，OD=1，OP=6，得出CP=2+6=8，然后證得△COD∽△PCA，證得∠DCO=∠CPA，即可證得CD∥AB．

解答 解：（1）由圖象可知，雙曲線y=$\frac{4-2m}{x}$在一三象限，
∴4-2m＞0，
解得m＜2；
（2）作BE⊥x軸于E，
∵AC⊥x軸，
∴AC∥BE，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{4}$，
∴BE=$\frac{1}{4}$AC，
∵點A的坐標為（-2，-4），
∴4-2m=-2×（-4）=8，
解得m=-2，
∵AC=4，
∴BE=1，
∴B（8，1），
把A、B點的坐標代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=1}\\{-2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=$\frac{1}{2}$x-3；
（3）∵A（-2，-4），B（8，1），
∴OC=2，AC=4，OD=1，
由直線y=$\frac{1}{2}$x-3可知P（6，0），
∴CP=2+6=8，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{2}{1}$，
∵∠COD=∠AOP=90°，
∴△COD∽△PCA，
∴∠DCO=∠CPA，
∴CD∥AB．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似的判斷和性質(zhì)，平行線的判定等，根據(jù)三角形相似求得B點的坐標是解題的關(guān)鍵．