Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別為對角線BD上的兩點，且BE=DF．
（1）若四邊形AECF是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若四邊形AECF是菱形，則四邊形ABCD是菱形嗎？請說明理由？
（3）若四邊形AECF是矩形，則四邊形ABCD是矩形嗎？不必寫出理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于點O，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OE=OF，再證出OB=OD，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，即可得出結(jié)論；
（3）由矩形的性質(zhì)得出OA=OC=OE=OF，證出OB=OD，AC＜BD，得出四邊形ABCD是平行四邊形，不是矩形．

解答 （1）證明：連接AC交BD于點O，如圖所示：
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴OA=OC，OE=OF，
∵BE=DF，
∴OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形； 
（2）解：理由如下：
∵四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
由（1）知，四邊形ABCD是平行四邊形；
∴四邊形ABCD是菱形；
（3）解：四邊形ABCD不是矩形；理由如下：
∵四邊形AECF是矩形，
∴OA=OC，OE=OF，AC=EF，
∴OA=OC=OE=OF，
∵BE=DF，
∴OB=OD，
∴AC＜BD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，不是矩形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)、并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．