Question

4．如圖，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)，CF∥AB．
（1）求證：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AE與EF的關(guān)系，根據(jù)平行的性質(zhì)，可得內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CF與DA的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；
（2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BFCD的形狀，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BD=CD，根據(jù)菱形的判定，可得答案；

解答 （1）證明∵AE是DC邊上的中線，
∴AE=FE，
∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE．
在△ADE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CFE}\\{∠DAE=∠CFE}\\{AE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF=DA．
（2）∵CD是△ABC的中線，
∴D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∴BD=CF，
∵AB∥CF，
∴BD∥CF，
∴四邊形BFCD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=CD，
∴四邊形BFCD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題，（1）利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，（2）利用了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定分析．