Question

12．問(wèn)題背景：課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：
①如圖1，在等邊三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=60°，則BM=CN．
②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=90°，則BM=CN．
任務(wù)要求：
（1）請(qǐng)你從①、②兩個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明．
（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：
①如圖3，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問(wèn)當(dāng)∠BON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM=CN成立；（不要求證明）
②如圖4，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°時(shí)，試問(wèn)結(jié)論BM=CN是否還成立．若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①正三角形ABC中，可通過(guò)全等三角形來(lái)證明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；②同①；
（2）①由（1）的證明過(guò)程可知道∠MON的度數(shù)應(yīng)該是正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，當(dāng)∠BON=$\frac{（n-2）×180°}{n}$時(shí)，結(jié)論BM=CN成立，
②可參照（1）先得出三角形BCD和CDE全等，然后通過(guò)證三角形CEN和BDM全等來(lái)得出結(jié)論，在證三角形CEN和BDM全等的過(guò)程中也是通過(guò)∠BON與正五邊形的內(nèi)角相等得出一組對(duì)應(yīng)角相等，然后根據(jù)正五邊形的內(nèi)角減去第一對(duì)全等三角形中得出的相等角來(lái)得出另一組對(duì)應(yīng)角相等，可通過(guò)△BCD≌△CDE得出CE=BD，那么可得出三角形CEN和BDM全等，由此可得證．

解答 解：（1）選命題①
在圖1中，∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠BCM=∠A=60°．
∵∠BON=60°，
∴∠CBM+∠BCN=60°．
∵∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠CBM=∠ACN．
在△BCM和△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCM=∠A}&{\;}\\{BC=CA}&{\;}\\{∠CBM=∠ACN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM=CN．
選命題②
在圖2中∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCM=∠D=90°．
∵∠BON=90°，
∴∠CBM+∠BCN=90°．
∵∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN．
在△BCM和△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCM=∠D}&{\;}\\{BC=CD}&{\;}\\{∠CBM=∠DCN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

（2）①當(dāng)∠BON=$\frac{（n-2）×180°}{n}$時(shí)，結(jié)論BM=CN成立．
②BM=CN成立．理由如下：
在圖4中，連接BD、CE，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=108°，∠DEA=108°．
在△BCD和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}&{\;}\\{∠BCD=∠CDE}&{\;}\\{CD=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CDE（SAS）．
∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．
∵∠BON=108°，
∴∠OBC+∠OCB=108°．
∵∠OCB+∠OCD=108°，
∴∠OBC=∠OCD（即∠MBC=∠NCD）．
∴∠MBC-∠DBC=∠NCD-∠ECD，即∠DBM=∠ECN．
∴∠CDE-∠BDC=∠DEA-∠CED，即∠BDM=∠CEN．
在△BDM和△CEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDM=∠CEN}&{\;}\\{BD=CE}&{\;}\\{∠DBM=∠ECN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CEN（ASA）．
∴BM=CN．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正多邊形等幾何知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．