Question

2．已知：∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．
（1）求證：CF=BE；
（2）若AB=6，AC=3，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連CD、BD，如圖，根據(jù)角平行線的性質(zhì)定理得到DE=DF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得CD=BD，則可利用“HL“證明Rt△CDF≌Rt△BDE，從而得到BE=CF；
（2）先證明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE=AF，設(shè)BE=CF=x，則AE=6-x，而AE=AF=AC+CF=3+x，則3+x=6-x，然后解方程求出x即可．

解答 解：（1）連CD、BD，如圖，

∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
又∵DG垂直平分BC，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF；

（2）在Rt△ADF和Rt△ADE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AE=AF，
設(shè)BE=CF=x，則AE=6-x，
∵AF=AC+CF=3+x，
∴3+x=6-x，解得x=$\frac{3}{2}$，
即BE=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)．