Question

20．如圖，△ABC中，∠A=50°，
（1）若點(diǎn)P是∠ABC與∠ACB平分線的交點(diǎn)，求∠P的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)P是∠CBD與∠BCE平分線的交點(diǎn)，求∠P的度數(shù)；
（3）若點(diǎn)P是∠ABC與∠ACF平分線的交點(diǎn)，求∠P的度數(shù)；
（4）若∠A=β，求（1）（2）（3）中∠P的度數(shù)（用含β的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得出∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠P的度數(shù)；
（2）由三角形內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角關(guān)系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分線得出∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；
（3）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義證出∠P=$\frac{1}{2}$∠A，即可得出結(jié)果；
（4）由（1）（2）（3），容易得出結(jié)果．

解答 解；（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠B和∠C的平分線交于點(diǎn)O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$×（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；
（2）∵∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∴∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，
∵點(diǎn)P是∠CBD與∠BCE平分線的交點(diǎn)，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠CBD+∠BCE）=115°，
∴∠P=180°-115°=65°；
（3）∵點(diǎn)P是∠ABC與∠ACF平分線的交點(diǎn)，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCF=$\frac{1}{2}$∠ACF，
∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A=25°；
（4）若∠A=β，在（1）中，∠P=180°-$\frac{1}{2}$（180°-β）=90°+$\frac{1}{2}$β；
在（2）中，同理得：∠P=90°-$\frac{1}{2}$β；
在（3）中同理得：∠P=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$β．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的角平分線、三角形的外角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角關(guān)系等知識點(diǎn)；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，弄清各個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．