Question

12．如圖，AB地半圓O的直徑，AD和BC是它的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，CO平分∠BCD．
（1）求證：CD是半圓O的切線(xiàn)．
（2）若AD=2，CD=5，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥DC，垂足為E．先證明ECO≌△BCO，于是得到OE=OB，從而可知DC是半圓O的切線(xiàn)；
（2）由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知：DE=DA，EC=CB，從而可求得BC的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖所示：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥DC，垂足為E．

∵BC是圓0的切線(xiàn)，
∴OB⊥BC．
∴∠CEC=∠OBC=90°．
∵CO平分∠ECB，
∴∠ECO=∠BCO．
在△ECO和△BCO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠BCO}\\{∠CEC=∠OBC=90°}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴ECO≌△BCO．
∴OE=OB．
∵OE⊥DC，OE=OB，
∴DC是圓O的切線(xiàn)．
（2）∵AD、DC、CB是圓的切線(xiàn)，
∴DE=DA，EC=CB．
∴BC=DC-AD=5-2=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)和判定、切線(xiàn)長(zhǎng)定理的應(yīng)用，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和判定、切線(xiàn)長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．