Question

9．在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，P為直線AC上的一點（不與A、C重合），滿足∠APB=60°，則CP=4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 畫出符合條件的兩種情況，解直角三角形求出AB和AC長，求出AP，即可求出答案．

解答 解：分為兩種情況：①當(dāng)P在AC上時，如圖1，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=6，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理得：AC=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵∠APB=60°，
∴AP=$\frac{AB}{tan60°}$=$\sqrt{3}$，
∴CP=A-AP=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
②當(dāng)P在CA延長線時，如圖2，
此時CP=AC+AP=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；
故答案為：$4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出符合條件的所有情況，難度適中．