Question

5．莊子說：“一尺之椎，日取其半，萬世不竭”．這句話（文字語言）表達(dá)了古人將事物無限分割的思想，用圖形語言表示為圖1，按此圖分割的方法，可得到一個(gè)等式（符號語言）：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2^3}$+…+$\frac{1}{2^n}$+…．

圖2也是一種無限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，過點(diǎn)C作CC₁⊥AB于點(diǎn)C₁，再過點(diǎn)C₁作C₁C₂⊥BC于點(diǎn)C₂，又過點(diǎn)C₂作C₂C₃⊥AB于點(diǎn)C₃，如此無限繼續(xù)下去，則可將利△ABC分割成△ACC₁、△CC₁C₂、△C₁C₂C₃、△C₂C₃C₄、…、△C_n-2C_n-1C_n、…．假設(shè)AC=2，這些三角形的面積和可以得到一個(gè)等式是2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$[1+\frac{3}{4}+（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{3}+…+（\frac{3}{4}）^{n-1}+（\frac{3}{4}）^{n}+…]$．

Answer 1

分析 先根據(jù)AC=2，∠B=30°，CC₁⊥AB，求得S_△ACC1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；進(jìn)而得到${S}_{△C{C}_{1}{C}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$，${S}_{△{C}_{1}{C}_{2}{C}_{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）²，${S}_{△{C}_{2}{C}_{3}{C}_{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）³，根據(jù)規(guī)律可知${S}_{△{C}_{n-2}{C}_{n-1}{C}_{n}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1，再根據(jù)S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，即可得到等式．

解答 解：如圖2，∵AC=2，∠B=30°，CC₁⊥AB，
∴Rt△ACC₁中，∠ACC₁=30°，且BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC₁=$\frac{1}{2}$AC=1，CC₁=$\sqrt{3}$AC₁=$\sqrt{3}$，
∴S_△ACC1=$\frac{1}{2}$•AC₁•CC₁=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵C₁C₂⊥BC，
∴∠CC₁C₂=∠ACC₁=30°，
∴CC₂=$\frac{1}{2}$CC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C₁C₂=$\sqrt{3}$CC₂=$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{△C{C}_{1}{C}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•CC₂•C₁C₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$，
同理可得，
${S}_{△{C}_{1}{C}_{2}{C}_{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）²，
${S}_{△{C}_{2}{C}_{3}{C}_{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）³，
…
∴${S}_{△{C}_{n-2}{C}_{n-1}{C}_{n}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1，
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）³+…+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1+…
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$[1+\frac{3}{4}+（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{3}+…+（\frac{3}{4}）^{n-1}+（\frac{3}{4}）^{n}+…]$．
故答案為：2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$[1+\frac{3}{4}+（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{3}+…+（\frac{3}{4}）^{n-1}+（\frac{3}{4}）^{n}+…]$．

點(diǎn)評 本題主要考查了圖形的變化類問題，解決問題的關(guān)鍵是找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．