Question

13．如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓交AB于D，延長AO交⊙O于E，連接CD、CE，若CE是⊙O的切線．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BC=3，CD=4，求∠BAE的正切值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OC∥AB，由平行線的性質(zhì)得到∠COD=∠ODA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠ODA，等量代換得到∠COD=∠BAE，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CE是⊙O的切線，
∴∠OEC=90°，
如圖1，連接OD，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OD}\\{∠EOC=∠DOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：過D作DF⊥OC于F，如圖2，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA=BC=3，
∵OD=OA=BC，
∴∠A=∠ODA，
∵OC∥AB，
∴∠COD=∠ODA，
∴∠FOD=∠A，
∴∠BAE的正切值=$\frac{CD}{OD}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的應(yīng)用，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．