Question

18．已知拋物線C₁：y=ax²+bx+c與x軸交于A（-2，0）、B（6，0），與y軸交于C（0，-3）．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）將拋物線C₁向上平移3個(gè)單位，得到圖象C₂，將C₂在x軸下方的部分沿x軸翻折，將得到的圖象記為C₃，若直線l：y=2x+t與C₃恰有兩個(gè)交點(diǎn)，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）已知函數(shù)經(jīng)過A（-2，0），B（6，0），可設(shè)拋物線解析式的交點(diǎn)式，即y=a（x+2）（x-6），再把C（0，-3）代入，可求a，從而確定拋物線解析式；
（2）求出兩個(gè)邊界點(diǎn)，繼而可得出t的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)已知A（-2，0），B（6，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)，
可設(shè)函數(shù)的解析式y(tǒng)=a（x+2）（x-6），
把點(diǎn)C（0，-3）坐標(biāo)代入，得：
-3=a×2×（-6），
解得a=$\frac{1}{4}$，
∴函數(shù)解析式是y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-6），
即y=$\frac{1}{4}$x²-x-3；

（2）由C₁：y=$\frac{1}{4}$x²-x-3=$\frac{1}{4}$（x-2）²-4得到圖象C₂的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2）²-1，圖象C₃的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
令-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1=0，
解之得：x₁=0，x₂=4，
故P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（0，0），Q（4，0）．
如圖，當(dāng)直線y=2x+t，
經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)，可得t=0，
當(dāng)直線y=2x+t經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)，
可得t=-8，
∴t的取值范圍為-8＜t＜0，
翻折后的二次函數(shù)解析式為二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1
當(dāng)直線y=2x+t與二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
2x+t=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
整理得：x²+4x+4t=0，
△=b²-4ac=16-4×（4t）=-16t+16=0，
解得：t=1，
∴t的取值范圍為：＞1，
由圖可知，符合題意的n的取值范圍為：t＞1或-8＜t＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是求出直線y=2x+t經(jīng)過點(diǎn)P、Q時(shí)t的值．同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想．