Question

7．如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC邊于E，EF⊥AE交CD邊于F，EC=CF，若BC=7，DF=3，tan∠AEB=3，則平行四邊形ABCD的面積為21．

Answer 1

分析 注意到AE既是角平分線又是EF的垂線，于是根據(jù)三線合一構(gòu)造出等腰三角形，即雙向延長(zhǎng)EF分別交AB、AD于M、N，則AM=AN．又由AD∥BC可推出BA=BE，由BC=7，DF=3，EC=CF可求出CE=CF=2，結(jié)合tan∠AEB=3，算出AE、ME的長(zhǎng)度，從而求出△AMN的面積，接著利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方這一性質(zhì)可分別算出△BME、△CEF、△DFN的面積，再用割補(bǔ)法算出平行四邊形ABCD的面積．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)EF交AD于N，延長(zhǎng)FE交AB于點(diǎn)M，

∵∠BAE=∠EAD，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
設(shè)CF=x，
∵CF=EC，DF=3，
∴EC=x，CD=AB=BE=3+x，
∵BC=BE+CE=7，
∴x=2，AB=BE=CD=5，
顯然△BEM∽△CEF∽△DNF，
∴BM=BE=5，DN=DF=3，
∴AM=AN=10，
∵AE⊥EF，
∴tan∠AEB=tan∠BAE=3=$\frac{ME}{AE}$，
∴AE=$\sqrt{10}$，ME=3$\sqrt{10}$，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$×MN×AE=30，
∴${S}_{△BME}=\frac{1}{4}{S}_{△AMN}$=$\frac{15}{2}$，
∴${S}_{△CEF}=\frac{4}{25}{S}_{△BME}$=$\frac{6}{5}$，
∴${S}_{△DFN}=\frac{9}{4}{S}_{△CEF}$=$\frac{27}{10}$，
∴S_ABCD=S_△AMN-S_△BEM-S_△BFN+S_△CEF=21．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分性的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解三角形等重要知識(shí)點(diǎn)，有一定難度．識(shí)別出AE的三線合一性質(zhì)并正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．