Question

2．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，-3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．
（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式．
（2）設(shè)點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值．
（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
（4）若點P在拋物線上，且△APC的面積為3，直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)兩點之間線段最短作N點關(guān)于直線x=3的對稱點N′，當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小；
（3）需要分類討論：①當(dāng)點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3）和②當(dāng)點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x-1），然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可以求得點E的坐標(biāo)；
（4）過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖1．設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）．根據(jù)兩點間的距離公式可以求得線段PQ=-x²+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式建立方程即可．

解答 解：（1）由拋物線y=-x²+bx+c過點A（-1，0）及C（2，3）得，
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線為y=-x²+2x+3
又設(shè)直線為y=kx+n過點A（-1，0）及C（2，3）得$\left\{\begin{array}{l}{-k+n=0}\\{2k+n=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
故直線AC為y=x+1故直線AC為y=x+1；

（2）如圖1，作N點關(guān)于直線x=3的對稱點N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{21}{5}$，
當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，
則m=-$\frac{1}{5}$×3+$\frac{21}{5}$=$\frac{18}{5}$；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
∵點E在直線AC上，
設(shè)E（x，x+1），
①如圖2，當(dāng)點E在線段AC上時，點F在點E上方，
則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②當(dāng)點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，
則F（x，x-1）
由F在拋物線上
∴x-1=-x²+2x+3
解得x=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴E（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）
綜上，滿足條件的點E的坐標(biāo)為（0，1）、（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）

（4）如圖3，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$PQ•AG
=$\frac{1}{2}$（-x²+x+2）×3
∵△APC的面積為3，
∴$\frac{1}{2}$（-x²+x+2）×3=3
∴x=-1或x=2，
∴P（-1，0）或（2，3）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，圖形的面積，函數(shù)的極值，解答（3）題時，要對點E所在的位置進(jìn)行分類討論，以防漏解．