Question

19．如圖1，已知矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O分別交AB、CD于點(diǎn)E、F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若AB=3，AD=4，點(diǎn)M在線段BC上運(yùn)動(dòng)，連接MO．
①當(dāng)MO⊥AC時(shí)，求BM的值；
②當(dāng)BM為多少時(shí)，△BMO是等腰三角形？（只寫出結(jié)論，不要求寫過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)易證，OA=OC，AB∥CD，根據(jù)AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，滿足ASA可證；
（2）①先證△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，計(jì)算MC，即可求出BM；
②若△BMO是等腰三角形，則可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分類討論即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AEO=∠CFO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS）；                        
（2）①解：如圖1，∵M(jìn)O⊥AC，
∴∠MOC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠MOC=∠ABC，
又∵∠MCO=∠MCO，
∴△MOC∽△ACB，
∴MC：AC=OC：BC，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∴OC=2.5，
∴MC：5=2.5：4，
∴MC=$\frac{25}{8}$，
∴BM=$\frac{7}{8}$；
②如圖2，△BMO是等腰三角形時(shí)，有三種情況：
（Ⅰ）OB=OM，此時(shí)M與C重合，BM=4；
（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=$\frac{1}{2}$BD=2.5；
（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，
∴BN=$\frac{1}{2}$B0=$\frac{5}{4}$；
∵△BMN∽△BDC
∴$\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BD}$，
∴BM=$\frac{BN•BD}{BC}$=$\frac{\frac{5}{4}×5}{4}$=$\frac{25}{16}$，
∴BM=2.5或4或$\frac{25}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，第3小題考查學(xué)生思維的全面性，恰當(dāng)分類討論是解決問題的關(guān)鍵．