Question

15．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A（0，3），C（-1，0）．將矩形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．解答下列問題：
（1）求出直線BB′的函數(shù)解析式；
（2）直線BB'與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，拋物線y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C、M、N，求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）將△MON沿直線MN翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)P處，請你判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

分析 （1）易得點(diǎn)B、點(diǎn)B′的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法可求出直線BB′的解析式；
（2）由直線BB′的解析式從而求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（3）設(shè)OP與直線MN交于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，如圖2，運(yùn)用等積法可求出OP的長，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可解決問題．

解答 解：（1）由題意得，B（-1，3），B'（3，1）
∴直線BB'的解析式為$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$
（2）直線BB'與x軸的交點(diǎn)為M（5，0），與y軸的交點(diǎn)N（0，$\frac{5}{2}$），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）（x+1），
∵拋物線過點(diǎn)N，∴$\frac{5}{2}=a×（{-5}）×1$，
∴$a=-\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為$y=-\frac{1}{2}（{x-5}）（{x+1}）$=$-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$；
（3）點(diǎn)P不在拋物線上．
理由如下：
如右圖，設(shè)OP與直線MN交于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，由題可得OP⊥MN，OP=2OH，
∴∠PGO=∠OHN=90°
在Rt△MON中，
∵OM=5，ON=$\frac{5}{2}$，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$
∴OH=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\sqrt{5}$，
∴OP=2OH=2$\sqrt{5}$，
∵∠NOM=90°，∠OHN=90°，
∴∠NOH=90°-∠HOM=∠OMN．
又∵∠PGO=∠NOM=90°，
∴△PGO∽△NOM，
∴$\frac{PG}{ON}=\frac{OG}{MO}=\frac{OP}{MN}$，
∴$\frac{PG}{\frac{5}{2}}=\frac{OG}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}=\frac{4}{5}$，
∴PG=2，OG=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4），
當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{9}{2}$≠4，
∴點(diǎn)P不在拋物線上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，勾股定理，有一定綜合性，但難度不大．運(yùn)用面積法和相似三角形的性質(zhì)是解決第（3）小題的關(guān)鍵．