Question

15．已知：如圖，Rt△ABC外切于圓O，切點分別為E、F、H，∠ABC=90°，直線FE、CB交于D點，連接AO、HE．現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①∠FEH=90°-$\frac{1}{2}$∠C；②DE=AE；③AB²=AO•DF；④AE•CH=S_△ABC，其中正確結(jié)論的序號為①③④．

Answer 1

分析 連接OE，OH，OF，OB，
①由切線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和即可得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論正確；
②根據(jù)已知條件知道四邊形OEBH是正方形，然后證明△BDE≌△FAO，然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；
③根據(jù)已知條件可以證明△DFH∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例和已知條件即可證明結(jié)論正確；
④根據(jù)直角三角形的面積公式直接解答即可．

解答 解：①連接OE，OH，OF，則OE⊥AB，OH⊥BC，
得出∠FOH=180°-∠C，
根據(jù)圓周角定理得∠FEH=$\frac{1}{2}$∠FOH=90$°-\frac{1}{2}$∠C；
故①正確；

②由①得四邊形OEBH是正方形，
則圓的半徑=BE，
∴OF=BE，
又∵∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，
在△BDE與△FAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE∠AFO}\\{OF=BE}\\{∠BED=∠AFE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FAO（SAS），
∴BD=AF，
∵BD＜DE，
∴DE≠AF，
故②錯誤；

③∵Rt△ABC外切于⊙O，切點分別為E、F、H，
∴BE=BH，AF=AE，
根據(jù)②得BD=AF，
∴BD=AE（等量代換），
∴AB=DH；
連接OB、FH．
∵∠D=∠BAO，∠EFH=∠OBA=45°，
∴△DFH∽△ABO，
則DH•AB=AO•DF，又AB=DH，
所以AB²=AO•DF，
故③正確；

④設(shè)△ABC的三邊分別為a，b，c，則AE=$\frac{b+c-a}{2}$，CH=$\frac{a+b-c}{2}$，AE•CH=$\frac{（b+c-a）}{2}$$•\frac{（a+b-c）}{2}$=$\frac{ab}{2}$=S_△ABC．
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=AE•CH；
故④正確；
故答案為：①③④．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．此題綜合運用了切線的性質(zhì)定理、切線長定理、圓周角定理和相似三角形的性質(zhì)和判定，綜合性比較強．