Question

3．如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C．P為BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作BC的垂線交拋物線于M、N兩點(diǎn)．若四邊形BMCN的面積為12，求直線MN的解析式．

Answer 1

分析 過點(diǎn)N作ND∥y軸，過點(diǎn)M作MD∥x軸．令x=0求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，令y=0求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用勾股定理可求得BC=3$\sqrt{2}$，然后由四邊形BMCN的面積為12可求得MN=4$\sqrt{2}$，從而得到MD=4，因?yàn)镸N⊥BC，故此可設(shè)MN的解析式為y=x+b，將y=x+b與y=-x²+2x+3聯(lián)立，得到x²-x+b-3=0，最后根據(jù)$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{a}$=MD=4求得b的值即可．

解答 解：如圖所示：過點(diǎn)N作ND∥y軸，過點(diǎn)M作MD∥x軸．

令x=0得y=3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
令y=0得：-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1．
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）
在Rt△OBC中，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∵NM⊥BC，
∴四邊形BMCN的面積=$\frac{1}{2}MN•BC=12$，即$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}•MN=12$，
解得：MN=4$\sqrt{2}$．
∵M(jìn)N⊥BC，
∴直線MN的一次項(xiàng)系數(shù)為1．
∴∠NMD=45°
∴MD=4
設(shè)直線MN的解析式為y=x+b，將y=x+b與y=-x²+2x+3聯(lián)立得：-x²+2x+3=x+b，
整理得：x²-x+b-3=0．
∵M(jìn)D=4，
∴$\frac{\sqrt{{1}^{2}-4×1×（b-3）}}{1}$=4．
解得：b=-$\frac{3}{4}$．
∴直線MN的解析式為y=x-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，勾股定理的應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)、明確相互垂直的直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1是解題的關(guān)鍵．