Question

17．如圖，直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點B，與雙曲線y=$\frac{4}{x}$交于點A、C，其中點A在第一象限，點C在第三象限．
（1）求B點的坐標；
（2）若S_△AOB=2，求A點的坐標；
（3）若C（-4，-1）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（4）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x軸上的坐標特點，令y=0時，則kx+2k=0，可求出x=-2，則可確定點B坐標為（-2，0）；
（2）設點A的坐標為（x、y），根據(jù)三角形的面積公式得到S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|-2|•|y|=2，可解得y=±2，由于點A在第一象限，則y=2，利用點A再反比例函數(shù)圖象上，把y=2代入y=$\frac{4}{x}$得x=2，從而確定A點坐標；
（3）根據(jù)圖形和A，C的坐標即可得到結(jié)果；
（4）存在點P，使△AOP是等腰三角形．只是確定P坐標時，題目沒有說明誰是腰，是底，所以要分類討論，不要漏解．

解答 解：（1）當y=0時，則kx+2k=0，
又∵k≠0
∴x=-2，
∴點B坐標為（-2，0）；

（2）設點A的坐標為（x、y），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|-2|•|y|=2，
∴y=±2，
∵點A在第一象限，
∴y=2，
把y=2代入y=$\frac{4}{x}$得x=2，
∴點A的坐標為（2，2）；

（3）根據(jù)圖象得：當一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時，
即：kx+2k＞y=$\frac{4}{x}$時，-4＜x＜0，或x＞2；

（4）當AP₁⊥x軸，AP₁=OP₁，∴P₁（2，0），
當AO=AP₂，∴P₂（4，0），
當AO=OP₃，∴P₃（-2$\sqrt{2}$，0），
當AO=OP₄，∴P₄（2$\sqrt{2}$，0），
則P點的坐標為：P₁（2，0），P₂（4，0），P₃（-2$\sqrt{2}$，0），P₄（2$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，知道反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式是解題的關鍵．