Question

1．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，Rt△ABO如圖放置，點A、B的坐標分別為（0，3）、（1，3），將此直角三角形繞點O順時針旋轉90°，得到Rt△A′B′O，若拋物線y=-x²+bx+c過點A，A′，與x軸的另一個交點為C．
（1）求點C的坐標；
（2）設拋物線的頂點為D，過點D作直線DM⊥x軸于M，P為線段BM上一動點，求以A，B，P為頂點的三角形和以C，P，M為頂點的三角形相似時點P的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點E，使得△AA′D和△AA′E的面積相等？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉的性質易得點A'的坐標為（3，0），再把A （0，3），A'（3，0）代入y=-x²+bx+c中得到關于b、c的方程組，解方程組求出b、c可得拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，然后計算函數(shù)值為0時的自變量得值即可得到C（-1，0）；
（2）如圖1，先利用拋物線的性質得到頂點D的坐標為（1，4），拋物線的對稱軸為直線x=1，則可判斷點B在直線DM上，設點P的坐標為（1，y），然后分類討論：當△ABP∽△CMP時，利用相似比得$\frac{1}{2}$=$\frac{3-y}{y}$；
當△ABP∽△PMC時，利用相似比得$\frac{1}{y}$=$\frac{3-y}{2}$，再分別解方程求出y即可得到滿足條件的P點坐標；
（3）如圖2，易得直線AA'的解析式為y=-x+3，利用三角形面積公式，利用△AA′D和△AA′E的面積相等可判斷直線DE∥AA′，則可設直線DE的解析式為y=-x+q，接著把D（1，4）代入求出q得到直線DE的解析式為y=-x+5，則直線y=-x+5與y軸的交點F的坐標為（0，5），于是通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$可得E點坐標為（2，3）；然后把直線AA′向下平移2個單位所得直線解析式為y=-x+1，所以直線y=-x+1到直線AA′的距離等于直線DE到AA′的距離，設直線y=-x+1于拋物線交于點E′和E″，利用三角形面積公式可判斷△AA′D、△AA′E′、△AA′E″的面積都相等，則可通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$可確定此時E點坐標．

解答 解：（1）∵Rt△A'B'O由Rt△ABO旋轉得到，點A的坐標為（0，3），
∴點A'的坐標為（3，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c過A （0，3），A'（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=3\\-9+3b+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3\end{array}\right.$，
∴過點A，A'的拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
令y=0，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴C（-1，0）；
（2）如圖1，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則頂點D的坐標為（1，4），拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴點B在直線DM上，
設點P的坐標為（1，y），則AB=1，CM=2，PM=y，BP=3-y，
當△ABP∽△CMP時，$\frac{AB}{CM}$=$\frac{BP}{MP}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{3-y}{y}$，解得y=2，此時P點坐標為（1，2）；
當△ABP∽△PMC時，$\frac{AB}{PM}$=$\frac{PB}{CM}$，即$\frac{1}{y}$=$\frac{3-y}{2}$，
整理得y²-3y+2=0，解得y₁=1，y₂=2，此時P點坐標為（1，1）或（1，2），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（1，1）或（1，2）；
（3）存在．
如圖2，易得直線AA'的解析式為y=-x+3，
∵△AA′D和△AA′E的面積相等，
∴直線DE∥AA′，
設直線DE的解析式為y=-x+q，
把D（1，4）代入得-1+q=4，解得q=5，
∴直線DE的解析式為y=-x+5，
則直線y=-x+5與y軸的交點F的坐標為（0，5），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，此時E點坐標為（2，3）；
∵AF=5-3=2，
∴把直線AA′向下平移2個單位所得直線解析式為y=-x+1，直線y=-x+1到直線AA′的距離等于直線DE到AA′的距離，
設直線y=-x+1于拋物線交于點E′和E″，此時△AA′D、△AA′E′、△AA′E″的面積都相等，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，此時E點坐標為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）；
綜上所述，E點坐標為（2，3）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質、旋轉的性質和相似三角形的性質；能利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會求拋物線與一次函數(shù)的交點坐標；理解坐標與圖形的性質；會靈活運用三角形面積公式．