Question

9．如圖，AO⊥OM，OA=8$\sqrt{2}$，點B為射線OM上的一個動點，分別以O(shè)B，AB為直角邊，B為直角頂點，在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點，當點B在射線OM上移動時，PB的長度為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過E作EM⊥OP于M，首先證明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；進而證明△BPF≌△MPE，即可解決問題．

解答 解：如圖，過點E作EN⊥BM，垂足為點N；
∵∠AOB=∠ABE=∠BME=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠MBE，
∴∠BAO=∠MBE；
∵△ABE、△BFO均為等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO與△BEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠MBE}\\{∠AOB=∠BME}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=ME，BM=AO；而BO=BF，
∴BF=ME；
在△BPF與△MPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBP=∠EMP}\\{∠FPB=∠EPM}\\{BF=ME}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△MPE（AAS），
∴BP=MP=$\frac{1}{2}$；而BM=AO，
∴BP=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運用有關(guān)定理來分析或解答．