Question

17．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，AC為⊙O直徑，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求證：BF=DE；
（2）若DE=2，AE=6，DF=12．求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）證明：延長CF交⊙O于H，連接AH，作OM⊥BD于M，延長MO交AH于N，如圖，由垂徑定理得BM=DM，再由圓周角定理得到∠AHC=90°，易得四邊形AHFE為矩形，接著證明M點為EF的中點得到FM=EM，則BF=DE；
（2）解：易得四邊形ANME為矩形，則MN=AE=6，BF=2，EF=10，BE=7，AH=EF=10，利用勾股定理計算出AD=2$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{85}$，然后證明Rt△ACB∽Rt△ADE，再利用相似比計算出AC即可．

解答 （1）證明：延長CF交⊙O于H，連接AH，作OM⊥BD于M，延長MO交AH于N，如圖，
∵OM⊥BD，
∴BM=DM，
∵AC為直徑，
∴∠AHC=90°，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD，
∴四邊形AHFE為矩形，MN∥AE∥FH，
∵ON∥CH，點O為AC的中點，
∴點N為AH的中點，
∴M點為EF的中點，
∴FM=EM，
∴BM-FM=DM-EM，
即BF=DE；
（2）解：易得四邊形ANME為矩形，則MN=AE=6，
∵DE=2，DF=12，
∴BF=2，EF=12-2=10，BE=7，
∴AH=EF=10，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{85}$，
∵AC為直徑，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=∠ADE，
∴Rt△ACB∽Rt△ADE，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AE}$，即$\frac{AC}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{85}}{6}$，解得AC=$\frac{5\sqrt{34}}{3}$，
即圓的直徑為$\frac{5\sqrt{34}}{3}$．

點評 本題考查了圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質．