Question

14．如圖△ABC是等邊三角形，D、E分別是BA、CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且AD=BE，連CD，EA，直線CD、EA交于點(diǎn)F．
（1）求∠DFE的度數(shù)；
（2）作EH⊥AB于H，則$\frac{DH}{BH}$=n時(shí)，△DFA為等腰三角形，求出n的值；
（3）若D在AB上，AD=3BD，連CD，作∠BCM=∠ADC，CM=CD，連AM交BC于P，則BP：CP的值為3：5．

Answer 1

分析 （1）先證明△CAD≌△ABE，推出∠DCA=∠BAE，由∠EAC=∠EFC+∠FCA=∠CAB+∠BAE，推出∠EFC=∠CAB=60°即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，由題意可知∠FDA=∠FAD=∠EAH=∠AEB=30°，設(shè)BH=a則BE=AB=AD=2a，推出DH=2a+2a+a=5a，推出n=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{5a}{a}$=5．
（3）如圖3中，在BC上截取BN=BD，則AD=CN．想辦法證明四邊形ACMN是平行四邊形即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=60°，
∴∠CAD=∠ABE=120°，
在△CAD和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAD=∠ABE}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△ABE，
∴∠DCA=∠BAE，
∵∠EAC=∠EFC+∠FCA=∠CAB+∠BAE，
∴∠EFC=∠CAB=60°，
∴∠DFE=180°-∠CFE=120°．

（2）如圖2中，

∵△DAF是等腰三角形，∠DFA=120°，
∴∠FDA=∠FAD=∠EAH=∠AEB=30°，設(shè)BH=a則BE=AB=AD=2a，
∴DH=2a+2a+a=5a，
∴n=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{5a}{a}$=5．

（3）如圖3中，

在BC上截取BN=BD，則AD=CN．
在△CAD和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CA}\\{∠ACN=∠CAN}\\{AD=CN}\end{array}\right.$，
∴∠ADC=∠CNA，
∵∠MCN=∠CDA，
∴∠MCN=∠ANC，
∴MC∥AN，
在△MCN和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{MC=CD}\\{∠MCN=∠CDA}\\{CN=AD}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△CDA，
∴MN=AC，∠CNM=∠DAC=∠ACN，
∴AC∥MN，
∴四邊形ACMN是平行四邊形，
∴PC=PN，
∵AD=3BD，AD=CN，BD=BN，
∴CN=3BN，
∴CP：PB=3：5，
故答案為3：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題．