Question

9．如圖，P是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P的兩直線EF、MN與平行四邊形ABCD的邊分別交于E、F、M、N，求證：ME∥FN．

Answer 1

分析 先根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行得出AB∥CD，AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)得出∠AMP=∠CNP，∠MAP=∠NCP，那么△APM∽△CPN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{AP}{CP}$=$\frac{PM}{PN}$．同理$\frac{AP}{CP}$=$\frac{PE}{PF}$，等量代換得到$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$，又∠MPE=∠NPF，那么△MPE∽△NPF，于是∠PEM=∠PFN，再根據(jù)平行線的判定得出ME∥FN．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠AMP=∠CNP，∠MAP=∠NCP，
∴△APM∽△CPN，
∴$\frac{AP}{CP}$=$\frac{PM}{PN}$．
同理，∴△APE∽△CPF，
∴$\frac{AP}{CP}$=$\frac{PE}{PF}$，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$，
又∠MPE=∠NPF，
∴△MPE∽△NPF，
∴∠PEM=∠PFN，
∴ME∥FN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，難度適中．得出$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$是解題的關(guān)鍵．