Question

19．已知直線y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∠ABC=60°，BC與x軸交于C．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動（不與A、C重合），同時動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿C-B-A向點(diǎn)A運(yùn)動（不與C、A重合），動點(diǎn)P的運(yùn)動速度是每秒1個單位長度，動點(diǎn)Q的運(yùn)動速度是每秒2個單位長度．設(shè)△APQ的面積為S，P點(diǎn)的運(yùn)動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t=4秒時，y軸上有一點(diǎn)M，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求得OA，OB的長度，利用tan$∠BAO=\frac{BO}{AO}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，得到∠BAO=60°，所以△ABC是等邊三角形，又OC=OA=4，確定C點(diǎn)坐標(biāo)﹙4，0﹚，利用待定系數(shù)法求解析式，即可解答；
（2）分兩種情況進(jìn)行解答：當(dāng)P點(diǎn)在點(diǎn)A、O之間運(yùn)動時，作QH⊥x軸．則AP=t，CQ=2t，因?yàn)椤螦CB=60°，所以QH=CQ•sin$∠ACB=2t•\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}t$，所以S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²（0＜t≤4），同理可得S_△APQ=$\frac{1}{2}$t•﹙8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t﹚=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}t$﹙4≤t＜8﹚．
（3）存在，（4，0），（-4，8）（-4，-8）（-4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．

解答 解：∵直線y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)（-4﹐0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0﹐4$\sqrt{3}$﹚
∵OA=4  OB=4$\sqrt{3}$，
∴tan$∠BAO=\frac{BO}{AO}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°
∵∠ABC=60°
∴△ABC是等邊三角形
∵OC=OA=4
∴C點(diǎn)坐標(biāo)﹙4，0﹚
設(shè)直線BC解析式為y=kx﹢b，
把B點(diǎn)坐標(biāo)（0﹐4$\sqrt{3}$﹚，C點(diǎn)坐標(biāo)﹙4，0﹚代入y=kx+b得；
$\left\{\begin{array}{l}{b=4\sqrt{3}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．
﹙2﹚如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在點(diǎn)A、O之間運(yùn)動時，作QH⊥x軸．

則AP=t，CQ=2t，
∵∠ACB=60°，
∴QH=CQ•sin$∠ACB=2t•\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}t$
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²（0＜t≤4），
如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在點(diǎn)O、C之間運(yùn)動時，

同理可得S_△APQ=$\frac{1}{2}$t•﹙8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t﹚=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}t$﹙4≤t＜8﹚．
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}（4≤t＜8）}\end{array}\right.$
（3）存在，（4，0），（-4，8）（-4，-8）（-4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式、以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法、分類討論是解本題的關(guān)鍵．