Question

8．如圖，已知點C、D是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上的兩個動點，點C在點D的上方，過C作CA⊥x軸，過D作DB⊥y軸，垂足分別為A、B，CA與DB相交于點P，連接AB、AD．
（1）若點D的坐標(biāo)為（6，1）．
①求k的值；
②若△ACD的面積為6，求直線CD的解析式．
（2）若點C的橫坐標(biāo)為m，點D的縱坐標(biāo)為n，直線CD與x軸相交于點E，與y軸相交于點F，探索m、n滿足什么關(guān)系時，F(xiàn)C=CD=DE，請寫出m、n的關(guān)系式并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①把D坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值即可；
②設(shè)C的坐標(biāo)為（x，$\frac{6}{x}$），表示出OA與AC的長，由OM-OA求出AM的長，即為DP的長，以AC為底，DP為高表示出三角形ACD面積，將已知面積代入求出x的值，確定出C坐標(biāo)，再由D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線CD解析式即可；
（2）根據(jù)C橫坐標(biāo)表示出縱坐標(biāo)，即為AC的長，由FC=CD=DE，得到FC：FD=CN：BD=1：2，即可確定出m與n的關(guān)系式．

解答 解：（1）①把D（6，1）代入y=$\frac{k}{x}$中，得：1=$\frac{k}{6}$，
解得：k=6；
②設(shè)C坐標(biāo)為（x，$\frac{6}{x}$），即OA=x，AC=$\frac{6}{x}$，
∵△ACD的面積為6，
∴$\frac{1}{2}$AC•DP=6，即$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{x}$×（6-x）=6，
整理得：6-x=2x，
解得：x=2，即C（2，3），
設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，
把C（2，3），D（6，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
則直線CD解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（2）把x=m代入y=$\frac{k}{x}$得：y=$\frac{k}{m}$；把y=n代入y=$\frac{k}{x}$得：x=$\frac{k}{n}$，
∴OA=m，AC=$\frac{k}{m}$，BD=$\frac{k}{n}$，DM=n，
∵FC=CD=DE，
∴FC：FD=CN：BD=1：2，
∴m：$\frac{k}{n}$=1：2，即mn=$\frac{k}{2}$，
則m、n滿足mn=$\frac{k}{2}$時，F(xiàn)C=CD=DE．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及一次函數(shù)解析式，三角形的面積，以及比例的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．