Question

3．下面我們做一次折疊活動：
第一步，在一張寬為2的矩形紙片的一端，利用圖（1）的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，折痕為MC；
第二步，如圖（2），把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，折痕為FA；
第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形FACB的對角線AB，并將AB折到圖（3）中所示的AD處，折痕為AQ．
根據(jù)以上的操作過程，完成下列問題：
（1）求CD的長．
（2）請判斷四邊形ABQD的形狀，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形MNCB為正方形，再利用折疊得：CA=1，AB=AD，所以CD=AD-AC，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得折疊得：∠BAQ=∠BQA，由等角對等邊得：AB=BQ，由一組對邊平行且相等可得：四邊形ABQD是平行四邊形，再由AB=AD，可得四邊形ABQD是菱形．

解答 解：（1）∵∠M=∠N=∠MBC=90°，
∴四邊形MNCB是矩形，
∵M(jìn)B=MN=2，
∴矩形MNCB是正方形，
∴NC=CB=2，
由折疊得：AN=AC=$\frac{1}{2}$NC=1，
Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AD=AB=$\sqrt{5}$，
∴CD=AD-AC=$\sqrt{5}$-1；
（2）四邊形ABQD是菱形，理由是：
由折疊得：AB=AD，∠BAQ=∠QAD，
∵BQ∥AD，
∴∠BQA=∠QAD，
∴∠BAQ=∠BQA，
∴AB=BQ，
∴BQ=AD，BQ∥AD，
∴四邊形ABQD是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABQD是菱形．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，難度適中，考查了菱形、正方形、平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．