Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2與x軸交與A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BD
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l，交拋物線于點(diǎn)M，交直線BD于點(diǎn)N
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與O、B重合），求m為何值時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最大，并說(shuō)明此時(shí)四邊形DCMN是否為平行四邊形
②當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)M，使△BDM是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線解析式容易求得A、B、C的坐標(biāo)；
（2）①可求得直線BD的解析式，利用m可表示出MN的長(zhǎng)，則可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得MN的最大值，再判斷MN與CD是否相等即可；②由題意可知有BM⊥BD或DM⊥BD，當(dāng)BM⊥BD時(shí)可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出BP和MP的長(zhǎng)，利用△OBD∽△PMB，可得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，從而可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)DM⊥BD時(shí)，由條件可知A點(diǎn)滿足條件，由A、D坐標(biāo)可求得直線AD解析式，聯(lián)立直線AD和拋物線解析式，則可求得滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2中，令y=0可得0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，解得x=-1或x=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2中，令x=0可得y=-2，
∴C（0，-2）；
（2）①∵D與C關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴D（0，2），且B（4，0），
∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx+2，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得4k+2=0，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線BD解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵P（m，0），
∴N（m，-$\frac{1}{2}$m+2），M（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2），
∵P在線段OB上，
∴M在x軸下方，
∴MN=-$\frac{1}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2）=-$\frac{1}{2}$m²+m+4=-$\frac{1}{2}$（m-1）²+$\frac{9}{2}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=1時(shí)，MN有最大值，最大值為$\frac{9}{2}$，
∵CD=4≠M(fèi)N，
∴四邊形DCMN不是平行四邊形；
②當(dāng)△BDM是以BD為直角邊的直角三角形時(shí)，只有MB⊥BD或DM⊥BD，
當(dāng)MB⊥BD時(shí)，如圖1，

設(shè)P（m，0），則M（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2），且B（4，0），D（0，2），
∴BP=|4-m|，PM=|$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2|，OB=4，OD=2，
∵∠MBD=90°，
∴∠OBD+∠PBM=∠ODB+∠OBD=90°，
∴∠ODB=∠PMB，
∴△OBD∽△PMB，
∴$\frac{OB}{MP}$=$\frac{OD}{PB}$，即$\frac{4}{|\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2|}$=$\frac{2}{|m-4|}$，解得m=3或m=4（舍去），
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2）；
當(dāng)MD⊥BD時(shí)，如圖2，

∵OA=1，OD=2，OB=4，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OD}{OB}$，且∠AOD=∠BOD，
∴△AOD∽△DOB，
∴∠ADO=∠DBO，
∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=∠DBO+∠BDO=90°，即AD⊥BD，
∴A點(diǎn)即為滿足條件的M點(diǎn)，此時(shí)M坐標(biāo)為（-1，0），
∵D（0，2），
∴可設(shè)直線AD解析式為y=kx+2，
把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=-k+2，解得k=2，
∴直線AD解析式為y=2x+2，
聯(lián)立直線AD和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=18}\end{array}\right.$，
∴直線AD上的另一M點(diǎn)坐標(biāo)為（8，18）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（3，-2）或（-1，0）或（8，18）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法，在（2）中用m表示出MN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．