Question

4．如圖：Rt△ACB內(nèi)接于⊙O，∠ABC=90°，∠ACB=30°，過A作⊙O的切線交CB延長線于P，∠APC的平分線交AB于F，交AC于E，若AF=3，則CE的長為6．

Answer 1

分析 由切線的性質(zhì)可知∠CAP=90°，從而可得到∠APC=60°，然后可得到∠C=∠CPE與是又CE=EP，然后再證明∠AEF=∠EAF=60，∠PAB=∠APE=30°，可得到AF=EF=PF=3，故此CE=EP=6．

解答 解：∵AP是圓O的切線，
∴∠CAP=90°．
又∵∠ACB=30°，
∴∠APC=60°．
∵PF是∠APC的平分線，
∴∠APE=∠CPE=30°．
∴∠C=∠CPE，∠AEP=60°．
∴CE=EP．
∵AC是圓O的直徑，
∴∠CBA=90°．
又∵∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°．
∴∠PAB=30°，∠AEF=∠EAF=60．
∴∠PAB=∠APE=30°，AF=EF=3．
∴PF=AF=3．
∴EP=6．
∴CE=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定，證得AF=EF=PF、CE=EP是解題的關(guān)鍵．