Question

17．已知點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B為直線x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B（-1，y）．
（1）如圖①，若∠AOB=90°，求y的值；
（2）如圖②，若有AO=AB，則y的值為±2$\sqrt{6}$
（3）如圖③，若在x軸上有一點(diǎn)C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC垂足為點(diǎn)C；若AB與y軸正半軸的所夾銳角為α，則tanα是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個(gè)最大值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出直線OA的解析式，由∠AOB=90°，進(jìn)而得出直線OB的解析式，將x=-1代入即可得出結(jié)論；
（2）利用OA=OB建立方程求解即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△ACF∽CBE，進(jìn)而得出y=$\frac{1}{4}$（-x²+2x+3），進(jìn)而求出AG=$\frac{1}{4}$[（x-1）²+12]，再用tanα=tan∠ABG=$\frac{16}{（x-1）^{2}+12}$，
即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
∵點(diǎn)A（3，4），
∴4=3k，
∴k=$\frac{4}{3}$，
∴直線OA的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
∵∠AOB=90°，
∴直線OB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=$\frac{3}{4}$，

（2）∵A（3，4），B（-1，y），
∴OA²=25，OB²=1+y²，
∵OA=OB，
∴1+y²=25，
∴y=-2$\sqrt{6}$或y=2$\sqrt{6}$，

（3）如圖，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，
∴∠AFC=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∵BC⊥AC，
∴∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
∴△ACF∽△CBE，
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{CF}{BE}$，
∵A（3，4），C（x，0），B（-1，y），且-1＜x＜3，
∴AF=4，CF=3-x，CE=x+1，BE=y，
∴$\frac{4}{x+1}=\frac{3-x}{y}$，
∴y=$\frac{1}{4}$（x+1）（3-x）=$\frac{1}{4}$（-x²+2x+3），
過點(diǎn)A作AG⊥BE，
∴AG=4，BG=|4-y|=|4-$\frac{1}{4}$（-x²+2x+3）|=$\frac{1}{4}$|16-（-x²+2x+3）|=$\frac{1}{4}$|x²-2x+13|=$\frac{1}{4}$|（x-1）²+13|=$\frac{1}{4}$[（x-1）²+12]，
∴tan∠ABG=$\frac{AG}{BG}$=$\frac{4}{\frac{1}{4}[（x-1）^{2}+12]}$=$\frac{16}{（x-1）^{2}+12}$，
∵BE∥y軸，
∴α=∠ABG，
∴tanα=tan∠ABG=$\frac{16}{（x-1）^{2}+12}$，
∵-1＜x＜3，
∴當(dāng)x=1時(shí)，（x-1）²+12最小，即：$\frac{16}{（x-1）^{2}+12}$最大，
∴[（x-1）²+12]最小值為12，
∴tanα最大=$\frac{16}{12}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間的距離公式，相似三角形的判定和性質(zhì)銳角三角函數(shù)，解（1）的關(guān)鍵是求出直線OB的解析式，解（2）的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)間的距離公式，解（3）的關(guān)鍵是得出x，y的關(guān)系式，是一道基礎(chǔ)題目．