Question

20．在菱形ABCD中，∠A=60°，以D為頂點作等邊三角形DEF，連接EC，點N、P分別為EC、BC的中點，連接NP
（1）如圖1，若點E在DP上，EF與CD交于點M，連接MN，CE=3，求MN的長；
（2）如圖2，若M為EF中點，求證：MN=PN；
（3）如圖3，若四邊形ABCD為平行四邊形，且∠A=∠DBC≠60°，以D為頂點作三角形DEF，滿足DE=DF且∠EDF=∠ABD，M、N、P仍分別為EF、EC、BC的中點，請?zhí)骄俊螦BD與∠MNP的和是否為一個定值，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，判斷出△ABD、△BCD是等邊三角形；然后判斷出∠DME=90°，在Rt△CME中，根據(jù)N為EC的中點，求出MN的長是多少即可．
（2）首先連接BE、CF，根據(jù)三角形的中位線定理，判斷出MN=$\frac{1}{2}CF$，PN=$\frac{1}{2}BE$；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△BDE≌△∠CDF，即可判斷出CF=BE，所以MN=PN．
（3）∠ABD與∠MNP的和是一個定值，∠ABD+∠MNP=180°．首先連接BE、CF，延長CE交BD于點G，根據(jù)三角形的中位線定理，判斷出∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCEM，∠ENP=∠BEG；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△BDE≌△∠CDF，即可判斷出∠DBE=∠DCF；最后根據(jù)三角形的外角的性質，以及三角形的內(nèi)角和定理，判斷出∠ABD+∠MNP=180°即可．

解答 解：（1）如圖1，，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=AD=BD，
∴BC=CD=BD，
∴△BCD是等邊三角形，
又∵P為BC的中點，
∴DP是∠BDC的平分線，
∴∠CDP=60°÷2=30°，
又∵三角形DEF是等邊三角形，
∴∠DEF=60°，
∴∠DME=180°-30°-60°=90°，
在Rt△CME中，
∵N為EC的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，
即MN的長是$\frac{3}{2}$．

（2）如圖2，連接BE、CF，，
∵點N、M分別為EC、EF的中點，
∴MN是△CEF的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}CF$；
∵點N、P分別為EC、BC的中點，
∴PN是△CBE的中位線，
∴PN=$\frac{1}{2}BE$；
∵∠BDC=60°，∠EDF=60°，
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△∠CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△∠CDF，
∴CF=BE，
∴MN=PN．

（3）∠ABD與∠MNP的和是一個定值，∠ABD+∠MNP=180°．
證明：如圖3，連接BE、CF，延長CE交BD于點G，，
∵點N、M分別為EC、EF的中點，
∴MN是△CEF的中位線，
∴MN∥CF，
∴∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCE，
∵點N、P分別為EC、BC的中點，
∴PN是△CBE的中位線，
∴PN∥BE，
∴∠ENP=∠BEG，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
又∵∠EDF=∠ABD，
∴∠BDC=∠EDF，
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠BDE=∠CDF，
∵∠A=∠DBC，∠ADB=∠DBC，
∴∠A=∠ADB，
∴AB=BD，
又∵AB=CD，
∴BD=CD，
在△BDE和△∠CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△∠CDF，
∴∠DBE=∠DCF，
根據(jù)三角形的外角的性質，可得
∠BGE=∠BDC+∠DCE，
在△BGE中，
∠BEG+∠BGE+∠GBE=180°，
∴∠ENP+（∠BDC+∠DCE）+∠DCF=180°，
∴（∠ENP+∠DCF+∠DCE）+∠BDC=180°，
又∵∠ENP+∠DCF+∠DCE=∠MNP，∠BDC=∠ABD，
∴∠ABD+∠MNP=180°，
即∠ABD與∠MNP的和是一個定值．

點評 （1）此題主要考查了四邊形綜合題，考查了分析推理能力、空間想象能力，考查了數(shù)形結合思想的應用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
（3）此題還考查了三角形中位線定理的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
（4）此題還考查了三角形的外角的性質和三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握．