Question

15．如圖，在⊙O中，弦AB=AC，BD為⊙O的直徑，AD交BC于E，AF∥BC交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，AE=2，ED=4．
（1）求證：AF為⊙O的切線(xiàn)；
（2）求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AO，證明AO⊥AF，由切線(xiàn)的判定定理可以得出AF是⊙O的切線(xiàn)．
（2）先根據(jù)相似三角形的判定得到△ABE∽△ADB，從而根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到AB的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理求得△ABD是直角三角形，根據(jù)正切函數(shù)求得∠D=30°，求得∠AOB=60°，證得OA=OB=AB=2$\sqrt{3}$，在RT△AOF中，通過(guò)正切函數(shù)即可求得AF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OA，
∵AB=AC，
∴OA⊥BC．
∵AF∥BC，
∴OA⊥AF．
∴AF是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ABE=∠ADB，
∵∠BAE=DAB，∠ABE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB．
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$．
∴AB²=AE•AD=2×（2+4）=12．
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵tan∠D=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=2$\sqrt{3}$，
∵OA⊥AF，
∴tan∠AOF=$\frac{AF}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}×2\sqrt{3}$=6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查切線(xiàn)的判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理以及正切函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．